?       白光LED是目前光電子領(lǐng)域研究的一大熱點。熒光粉層是影響白光LED光效和色度的重要因素。通過改變熒光粉層粉體的粒度、厚度、形狀、固晶位置等參數(shù)，可以改變白光LED的光效、顏色參數(shù)和空間光強(qiáng)分布。文章利用蒙特卡羅法原理，通過對白光LED熒光粉層中光子輸運過程的模擬，分析了熒光粉層參數(shù)對出射光的影響。

1 引言

作為一種新型的發(fā)光體，LED自誕生以來就倍受照明界關(guān)注。特別是進(jìn)入21世紀(jì)后世界面臨嚴(yán)重的能源、環(huán)境危機(jī)，這就迫切需要改進(jìn)現(xiàn)有的照明設(shè)備，提高其效率。而LED具有電光效率高、體積小、壽命長、電壓低、節(jié)能和環(huán)保等優(yōu)點，是未來最重要的照明器件之一。LED與傳統(tǒng)的白熾燈、日光燈相比，在電光效率、壽命上占有絕對的優(yōu)勢，一旦在成本、光效上取得突破，其前景將不可限量。而且由于LED出射光線的相對集中性和發(fā)散角的狹小性，使得其在汽車前照燈、手機(jī)的背光照明、光顯示、交通燈、信號燈等領(lǐng)域的應(yīng)用前景遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于普通光源。

提升白光LED光效的方法主要有兩種，即基底的藍(lán)光芯片自身的光效提升和熒光粉層激發(fā)光效的提升。本文主要討論熒光粉層激發(fā)光效的提升方法。熒光粉層的光效關(guān)鍵因素之一在于熒光粉轉(zhuǎn)換效率;另一關(guān)鍵因素在于粉層自身參數(shù)，如熒光粉層厚度、散射參數(shù)、吸收參數(shù)等所決定的光輸出效率。所以，提高熒光粉層的光效也是提高白光LED光效的重要保證。

通過改變熒光粉層的熒光粉的粒度、用量、涂覆位置、形狀、固晶位置等參數(shù)，不但會影響光效，而且會改變顏色參數(shù)以及空間光強(qiáng)分布。熒光粉層諸參數(shù)之設(shè)定決定了該白光LED的色溫Ra值。

為了改善傳統(tǒng)LED出射光角度狹小，光強(qiáng)隨角度變化迅速衰減，光譜空間分布不均，邊緣存在嚴(yán)重偏色等問題，必須改進(jìn)LED封裝結(jié)構(gòu)的設(shè)計。近年來出現(xiàn)了不少新型的封裝，對于改善LED出射光的分布起到了較好的作用。為了更好地設(shè)計外層的環(huán)氧樹脂封裝結(jié)構(gòu)，勢必要對熒光粉層出射光的分布作進(jìn)一步的研究和優(yōu)化。

2 蒙特卡羅法

蒙特卡洛法來源于人們對隨機(jī)抽樣事件的概率理解。其基本形式蒙特卡羅估計(Crude　Monte　Carlo　Estimator)是基于對積分的概率解釋。

若有一服從均勻分布的序列Sn，則有經(jīng)驗近似估計式：

M=■■f(Sn) (1)

即在函數(shù)f(x)值域中隨機(jī)取n個均勻分布的Sn點，對這Sn個點的函數(shù)值進(jìn)行平均，便可得到一個平均數(shù)。根據(jù)強(qiáng)大數(shù)定律(Strong　Law　of　Large　Numbers)，此平均數(shù)以概率1收斂于其期望值E，也就是：

■M→E (2)

(1)與(2)式反映了一個原理：對于任何函數(shù)，只要在其取值區(qū)間內(nèi)均勻地取足夠多的樣品(樣品越多、相關(guān)系數(shù)越低，即隨機(jī)性越好則結(jié)論越準(zhǔn)確)，就能得到接近于其期望值的結(jié)果。按照統(tǒng)計原理，在樣品達(dá)到無窮多時，函數(shù)累計平均的結(jié)果就是其期望值。也就是在無窮多時，實現(xiàn)了事件過程的完全重演。而正因為大多數(shù)的現(xiàn)象都可以歸結(jié)為函數(shù)的集合，所以蒙特卡洛估計原理為模擬現(xiàn)實世界中的各種現(xiàn)象提供了可能性。但正如其方法本身所言，如果要得到比較準(zhǔn)確的結(jié)果，就必須對大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬。所以在計算機(jī)技術(shù)還很落后的過去，要對大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行人工采樣幾乎是無法實現(xiàn)的，即使進(jìn)行了這樣的嘗試也會因為數(shù)據(jù)量達(dá)不到隨機(jī)模擬的精度要求而失敗。因此，蒙特卡洛方法也一直被人們忽略。直到計算機(jī)技術(shù)取得了突破性進(jìn)展之后，人們才有可能通過計算機(jī)獲取足夠的數(shù)據(jù)采樣，得到精度有保證的預(yù)測結(jié)論。

3 熒光粉層中的光子輸運模擬

光子在熒光粉層傳輸?shù)倪^程中會遇到邊界的反射、折射;膠體物質(zhì)的散射、吸收;熒光粉的吸收、新光子的發(fā)射等情況。所有的這些事件都可以看作是光子在熒光粉層中傳輸時隨機(jī)發(fā)生的函數(shù)，并且這些函數(shù)的值就是影響光子繼續(xù)傳輸、頻率改變的因子。

所以，對熒光粉層中光子傳輸過程的蒙特卡羅模擬是建立在輸運方程基礎(chǔ)上的概率方法。模擬包含兩部分過程：光子在膠體中的散射和吸收，光子被熒光粉吸收和重新出射。光子的散射僅改變傳播方向，不改變光子頻率;在散射體中的吸收相當(dāng)于光子的“死亡”;被熒光粉吸收后有一定幾率再次出射光子，新光子不但傳播方向發(fā)生變化，而且頻率也發(fā)生改變。

熒光粉中光子的平均自由程可以根據(jù)概率計算。設(shè)定光子吸收系數(shù)(概率)為μa，散射系數(shù)(概率)為μs，所以光子在任意位置與熒光粉發(fā)生碰撞的概率是μa+μs。

設(shè)定衰減系數(shù)為μt=μa+μs，則光子在傳輸了ds距離時，發(fā)生散射和吸收作用的概率是μtds，表示為：

μt=■ (3)

得到：

d1n[P(s>s′)]=-μtds (4)

對s在(0，s′)積分，得到概率分布：

P{s

可以取隨機(jī)數(shù)來模擬概率得光子包步長，因為不同波長的光子在熒光粉層中的吸收系數(shù)不同，所以對不同波長光子的吸收、散射系數(shù)定義μa(ω)+μs(ω)。整理隨機(jī)步長公式為：

s=-■=■ (6)

光子運動了一個步長之后，將會在相互作用點發(fā)生散射或者吸收事件。被吸收的光子就意味著“死亡”，散射后的光子繼續(xù)移動，但是運動角度發(fā)生改變。在散射事件中，需要對偏轉(zhuǎn)角θ∈(0，π)，ψ∈(0，2π)和方位角進(jìn)行統(tǒng)計取樣，其中，偏轉(zhuǎn)角余弦的幾率分布可以用散射函數(shù)來描述，該散射函數(shù)是由Henyey和Greenstein(1941年)首先提出來的，描述了光子從方向■散射到方向■■′的概率：

P(cosθ)=■ (7)

φ=2πξ，ξ∈{0，1}

其中，g為各項異性系數(shù)，等于偏轉(zhuǎn)角余弦的平均值，g∈(-1，1)。g=0時介質(zhì)各向同性;g=1時表示有極強(qiáng)的前向散射能力;g=-1時表示有極強(qiáng)的后向散射能力。

以概率方式表示cosθ得：

cosθ=■{1+g2■-[■]■}，g≠0;2ξ-1，g=0 (8)

對于熒光粉層來說，其出射光譜線加寬的主要原因可以歸結(jié)為壽命加寬，所以在模擬時可以將光子的發(fā)射過程中所產(chǎn)生的波長幾率近似地用洛侖茲函數(shù)來描述：

P(ω)=■×■ (9)

其中，△w是光譜線線寬(線形函數(shù)的半極值點所對應(yīng)的頻率全寬度，簡稱FWHM)，w■是譜線中心頻率。

通過求取概率累計分布函數(shù)的反函數(shù)來獲得符合概率分布隨機(jī)數(shù)，得到出射的新光子隨機(jī)波長：

ω=ω0-△ω■ (10)

ξ∈(0，1)為均勻分布隨機(jī)變量。

光子在熒光粉層中傳輸?shù)竭吔鐣r，考慮兩種介質(zhì)的折射率不匹配，入射光將在散射介質(zhì)表面發(fā)生鏡面反射，使一部分光進(jìn)入散射介質(zhì)內(nèi)部，另一部分光被反射回介質(zhì)表面。

根據(jù)Fresnel反射定律，反射率為：

Rsp=■[(■)■+(■)■] (11)

其中θ1和θ2分別為入射角和透射角，垂直入射條件下，cosθ1和cosθ2均為1，n1和θ2分別為外部媒質(zhì)和熒光粉層介質(zhì)的折射率。n1與θ2滿足Shell定律，

n1sinθ1=n2cosθ2 (12)

鏡面反射定義的是與組織發(fā)生相互作用的光子在界面被反射的幾率。并不能反映在界面有可能發(fā)生的漫反射的傳輸規(guī)律。如果我們想嚴(yán)格地區(qū)分鏡面反射和漫反射，可以通過跟蹤光子是否和組織發(fā)生了相互作用，在記錄光子的反射時，如果出射光子在出射前和介質(zhì)發(fā)生了相互作用，則該反射為漫反射，如果沒有發(fā)生相互作用，則該反射為鏡面反射。

蒙特卡羅方法模擬光子在熒光粉層中的的輸運過程，其步驟為：

(1) 根據(jù)入射條件確定起始跟蹤點;

(2) 確定光子行進(jìn)的方向和下一次碰撞的位置;

(3) 確定在該位置光子的吸收、散射和發(fā)射部分;

(4) 判斷光子是否到達(dá)邊界;

(5) 返回第二步。

如此循環(huán)計算，直到光子包權(quán)重小于某一設(shè)定值，就對其進(jìn)行“俄羅斯輪盤賭”，判斷其生存機(jī)會。光子逸出熒光粉層上下表面時就結(jié)束對該光子包的跟蹤并記錄當(dāng)前光子參數(shù)。然后，返回第一步記錄另一光子，直到所設(shè)定的光子數(shù)全部跟蹤完畢。傳播的光子數(shù)越多，則得到的反射、透射、吸收量和光子波長分布越接近真實值。